ベータ分布と一様分布

ベイズ統計学で多用される分布にベータ分布がある。ベータ分布の確率密度関数f(x)は以下の式で表される。

f(x)=kx^{p-1}(1-x)^{q-1}

ここで、pおよびqは正の定数であり、xは区間(0, 1)を満たす値である。また、定数kはBをベータ関数として以下で表される。

k=\frac{1}{B(p, q)}

このとき、平均値と分散および最頻値Mは以下で与えられる。

\mu=\frac{p}{p+q}
\sigma^2=\frac{pq}{(p+q)^2(p+q+1)}
M=\frac{p-1}{p+q-2}

どのような確率変数に対しても、その生起確率が等しい確率分布を一様分布という。最も簡単な確率分布であるといえる。この一様分布はベータ分布の特別な場合であり、簡単な計算にてベータ分布より導くことができる。上の確率密度関数の式において、p=q=1としたときがその場合である。このとき、確率密度関数は以下で与えられる。

f(x)=k=1

ここで確率変数の範囲を区間[a, b]とし、1/(b-a) にて規格化すると、xが区間[a, b]において一様な生起確率を示す一様分布が得られる。

f(x)=\frac{1}{b-a}\ \ \ (a\leq x\leq b)

このとき、平均値と分散は以下で与えられる。

\mu=\frac{a+b}{2}
シグマの式
このエントリーをはてなブックマークに追加

Site search

ページのトップへ戻る