離散一様分布

確率変数Xの値に関わらず、確率密度関数が常に一定の値を与える確率分布を一様分布という。特に、確率変数Xが離散確率変数であるとき、その分布を離散一様分布 (discrete uniform distribution) という。正しいサイコロを投げたときの出る目の確率の分布に対応する。パラメーター (母数) は確率変数Xの取り得る最大の値Nである。離散一様分布は DU(N) で略記されることがある。確率質量関数は以下で与えられる。

\begin{eqnarray*}f(x)=\frac{1}{N}\end{eqnarray*}

ここで、Nは確率変数Xの取り得る最大値であり、Xの範囲は以下で与えられる。最小値および最大値は1およびN以外の任意の値にも設定できる。もしXの最小値をa、最大値をbとする場合は確率質量関数は 'f(x)=1/(b-a+1)' となる。

x=1,2,\cdots,N

モーメント母関数は以下で与えられる。

M_X(t)=\frac{1}{N}\sum_{x=1}^{N}e^{tx}=\frac{e^t}{N}\frac{1-e^{Nt}}{1-e^t}

期待値は以下で与えられる値である。

E(X)=\frac{N+1}{2}

分散は以下の式で与えられる。

V(X)=\frac{N^2-1}{12}

モーメント母関数、期待値および分散の導出

モーメント母関数は以下のように求められる。

M_X(t)&=&\sum_{x=1}^{N}e^{tx}\frac{1}{N}\\&=&\frac{1}{N}(e^t+e^{2t}+\cdots+e^{Nt})\\&=&\frac{e^t}{N}(1+e^{t}+\cdots+e^{(N-1)t})\\&=&\frac{e^t}{N}\frac{1-e^{Nt}}{1-e^t}

上の3番目の等式から4番目の等式への変換には以下の等比数列の和の公式を利用する。等比数列の和Snは初項をa、公比をr、項数をnとして以下で与えられる。ここで、上の3番目の等式においては初項は1、公比はet、項数はNとなる。

S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}

期待値は以下のように求める。

E(X)&=&\sum_{x=1}^{N}xf(x)\\&=&\sum_{x=1}^{N}x\frac{1}{N}\\&=&\frac{1}{N}\sum_{x=1}^{N}x\\&=&\frac{1}{N}\frac{N(N+1)}{2}\\&=&\frac{N+1}{2}

分散は以下のように求める。分散と期待値の変換公式を利用する。

V(X)&=&E(X^2)-[E(X)]^2\\&=&\sum_{x=1}^{N}x^2f(x)-\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\\&=&\sum_{x=1}^{N}x^2\frac{1}{N}-\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\\&=&\frac{1}{N}\sum_{x=1}^{N}x^2-\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\\&=&\frac{1}{N}\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}-\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\\&=&\frac{(N+1)(2N+1)}{6}-\left(\frac{N+1}{2}\right)^2\\&=&\frac{2N^2+3N+1}{6}-\frac{N^2+2N+1}{4}\\&=&\frac{4N^2+6N+2-3N^2-6N-3}{12}\\&=&\frac{N^2-1}{12}
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