ガンマ分布とカイ二乗分布

ガンマ分布は指数分布の一般形であり、その確率密度関数 f(x) は以下の式で与えられる。

\begin{eqnarray*}f(x)=\frac{x^{\alpha -1}e^{-\frac{x}{\beta}}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\end{eqnarray*}

確率変数Xの範囲は以下の範囲である。

0 \leq x < \infty

形状母数 α および尺度母数 β はガンマ分布の2つのパラメーターである。ガンマ分布は Ga(α, β) のように略記される。

一方で、カイ二乗検定等に用いられる確率分布、カイ二乗分布の確率密度関数は以下で与えられるものである。

f(x)=\frac{x^{\frac{k}{2} -1}e^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}

確率変数Xの範囲は以下の範囲である。

0 \leq x < \infty

パラメーターkはカイ二乗分布の自由度である。カイ二乗分布は χ2(k) で略記されることがある。

以上の2つの確率密度関数の比較より、カイ二乗分布はガンマ分布の特別な形、すなわちカイ二乗分布はガンマ分布における 'α=(m/2)' で 'β=2' の場合であることが分かる。

Ga\left(\frac{k}{2},2\right)=\chi^2(k)
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