チェビシェフの不等式の証明

チェビシェフの不等式の証明は以下のようになる。チェビシェフの不等式は以下で与えられる不等式である。ここで、kは任意の正の数である。

\begin{eqnarray*}P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\end{eqnarray*}

最初に、分散の式を考える。分散は以下で与えられる値である。

\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx

次に、式を以下のように変形させる。

\sigma^2&=&\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx\\&=&\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,dx+\int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,dx+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx

ここで、(x-μ)2は0以上であり、f(x)も確率であるため0以上であることを考慮すると、以上の式はさらに以下のように変形できる。

\sigma^2&\geq& int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,dx+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx

g(x)=(x-μ)2とおけば、その微分、g'(x)=2(x-μ)はxがμ以上のとき正の値または0となり単調増加、xがμより小さいとき負の値となり単調減少する。さらに、σが0以上の値、kが任意の正の数であることを考慮すると、xがμ+kσより大きいとき(x-μ)2>k2σ2となり、また、xがμ-kσより小さいとき(x-μ)2>k2σ2となる。これらの関係を用いることで、上式はさらに以下のように変換できる。

\sigma^2&\geq& int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}(x-\mu)^2f(x)\,dx+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx\\ &\geq&  k^2\sigma^2\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}f(x)\,dx+k^2\sigma^2\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}f(x)\,dx

以上より、以下の式が導かれる。

\int_{-\infty}^{\mu-k\sigma}f(x)\,dx+\int_{\mu+k\sigma}^{\infty}f(x)\,dx &\leq& \frac{1}{k^2}

ここで、'f(x)' は確率密度関数であるため、左辺第一項は μ-kσ 以下の確率、左辺第二項は μ+kσ 以上の確率そのものであるため、以上の式は以下のように書き換えることが出来る。

P(X<\mu-k\sigma)+P(X>\mu+k\sigma) &\leq& \frac{1}{k^2}

最後に、絶対値記号を用いて上式を書き換えることで以下のチェビシェフの公式が導かれる。

P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\frac{1}{k^2}\end{eqnarray*}
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