母分散の推定

母集団の平均が既知のとき、標準正規分布に従う母集団からn個の標本を取り出したときに得られる以下のような統計量V「n個のデータの2乗の和」は自由度nのカイ二乗分布に従う。

V=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\mu}{\sigma})^2

また、平均μおよび分散σ2が未知のの正規分布に従う母集団からn個の標本を取り出したとき、「取り出した標本のそれぞれの値をZ変換した2乗の和」である統計量Wは自由度n-1のカイ二乗分布に従う。

W=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma})^2

以上の計算で得られたVまたはWが自由度nまたはn-1のカイ二乗分布に従うことを利用し95%または99%信頼区間を予測するための不等式を立てる。例えば、平均および分散σ2が未知のの正規分布に従う母集団から8個の標本を取り出したとき、母分散の値を95%の信頼区間で予測するには以下のようにする。(左右の数値はカイ二乗分布表より取得する。)

1.6898\leq W=\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma})^2\leq 16.0128
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