確率変数の変換

確率変数Xに対して、それを変換した確率変数1/Xや確率変数logXの確率分布を求めるには以下のようにする。ここで、確率密度関数が f(x) であらわされる確率変数Xに対して以下の確率変数Yを考える。このとき、この確率変数Yの確率密度関数 g(y) を求める。

\begin{eqnarray*}Y=\phi(X)\end{eqnarray*}

まず、変数yを以下の式であらわす。関数 φ(x) は単調増加または単調減少関数である。

y=\phi(x)

また、上式をxについて解いた関数を以下のようにあらわす。

x=\psi(y)

このとき、確率変数Yの確率密度関数 g(y) は確率変数Xの確率密度関数 f(x) および上の ψ(y) を用いて以下のように与えられる。

g(y)=f(\psi(y))\left|\frac{d\psi(y)}{dy}\right|

以上で確率変数の変換が可能である。さらに、シンプルに式を書き下すと以下のようにあらわすことができ、その形を覚えやすい。

g(y)=f(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|
このエントリーをはてなブックマークに追加

Site search

ページのトップへ戻る