期待値の加法性

期待値 (平均値) には以下で示される加法性がある。

E(X)+E(Y)=E(X+Y)

この加法性は以下のように証明することができる。まず、期待値は以下で与えられる値である。

E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i

よって、上の関係を用いることで"E(X)+E(Y)"は以下のようにあらわすことができる。

E(X)+E(Y)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i+\sum_{j=1}^{n}y_jp_j

ここで、確率の総和は1であるので以下の式が成り立つ。

\sum_{j=1}^{n}p_j=1,\,\sum_{i=1}^{n}p_i=1

この関係を利用して式を変形させると以下のように期待値の加法性を導くことができる。

\begin{eqnarray*}E(X)+E(Y)&=&\sum_{i=1}^{n}x_ip_i\sum_{j=1}^{n}p_j+\sum_{i=1}^{n}p_i\sum_{j=1}^{n}y_jp_j\\&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ip_ip_j+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}y_jp_ip_j\\&=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(x_i+y_j)p_ip_j\\&=&E(X+Y)\end{eqnarray*}
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