モーメント

統計学におけるモーメントは物理学におけるモーメントの類推である。物理学におけるモーメントが長さと力の積であるのに対し、統計学のモーメントは標本と確率の積で与えられる。

確率変数Xの原点まわりのr次のモーメントμrは以下で定義される。原点まわりの1次のモーメントは、まさに確率変数Xの期待値そのものである。2次、3次および4次のモーメントはそれぞれ、分散歪度および尖度の計算に用いられる。

\begin{eqnarray*}\mu_r=E(X^r)\end{eqnarray*}

以上の式は、f(x)を連続確率変数Xの確率密度関数として、以下のようにあらわすことができる。

E(X^r)=\int_{-\infty}^{\infty}x^rf(x)dx

一方で、Xが離散確率変数の場合、以下のようになる。

E(X^r)=\sum_{i}x_i^rf(x)

確率変数Xの平均まわりのr次のモーメントμr'はμをXの平均として以下で定義される。

\mu_r'=E[(X-\mu)^r]

以上の式は、f(x)を連続確率変数Xの確率密度関数として、以下のようにあらわすことができる。

E[(X-\mu)^r]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^rf(x)dx

一方で、Xが離散確率変数の場合、以下のようになる。

E[(X-\mu)^r]=\sum_{i}(x_i-\mu)^rf(x)

以上の各モーメントはモーメント母関数を利用することで容易に求めることができる。

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