モーメント母関数

モーメント母関数 (moment generating function) はすべての次数のモーメントを生成する関数である。この関数によってひとつの確率分布のすべてが決定される。モーメント母関数 MX(t) は以下の式にて定義される。

\begin{eqnarray*}M_X(t)=E(e^X)\end{eqnarray*}

すなわち、確率変数Xが連続確率変数のとき、モーメント母関数は以下の式で与えられる。

\sigma^2=M_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}f(x)dx

一方、Xが離散確率変数の場合は以下の式で与えられる。

M_X(t)=\sum_{x}e^{tx}f(x)

モーメント母関数の使い方は至って簡単である。行うことは、微分して0を代入すること、である。すなわち、変数tからなるMX(t)をtで微分して 't=0' を代入する。1階微分してtに0を代入すると確率変数Xの原点まわりの1次のモーメントμ1が、2階微分の後に 't=0' を代入すると原点まわりの2次のモーメントμ2が得られる。すなわち、以下で示される、モーメント母関数のr階導関数に 't=0' を代入した式から各次数の原点まわりのモーメントがわかる。

M_X^{(r)}(0)=\mu_r

モーメント母関数の微分とtへの0の代入にて各次数のモーメントが求まることは以下のように証明できる。まず、最初の式 'MX(t)=E(eX)' の括弧内を以下のようにテイラー展開する。

M_X(t)=E(1+tX+\frac{t^2}{2!}X^2+\frac{t^3}{3!}X^3+\dotsb)

この式は、期待値の変換公式より以下のように変形できる。

M_X(t)=1+tE(X)+\frac{t^2}{2!}E(X^2)+\frac{t^3}{3!}E(X^3)+\dotsb

ここで、原点まわりのr次のモーメントμrは 'μr=E(Xr)' で定義される値であるので、この関係を用いると上式はさらに以下のように変形できる。

M_X(t)=1+t\mu_1+\frac{t^2}{2!}\mu_2+\frac{t^3}{3!}\mu_3+\dotsb

すなわち、モーメント母関数MX(t)はtに関する展開式の係数に各次数の原点まわりのモーメントを有する。つまり、この式をr階微分すればrより低次の項が消え、その後に 't=0' を代入すると、r次以外の高次の項も消えるわけである。以上がモーメント母関数のr階微分とtへの0の代入によりr次のモーメントが生成される所以である。

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