確率密度関数と確率質量関数

確率変数Xが連続的な値をとる連続確率変数であるときにXがある範囲[a, b]をとる確率をPとした場合、その確率を与える以下の関数f(x)を確率密度関数という。確率密度関数は、累積分布関数を意味する 'CDF' に対して 'PDF' と略記されることがある。

\begin{eqnarray*}P(a\leq x \leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx\end{eqnarray*}

確率密度関数f(x)は以下の性質を持つ。

f(x)\geq 0
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1

一方で、確率変数Xが離散的な値をとる離散確率変数であるときにXがxをとる確率をPとする場合、その確率を与える以下の関数f(x)を確率質量関数という。単に、確率関数という場合もある。

P(X=x)=f(x)

確率質量関数f(x)は以下の性質を持つ。

f(x)\geq 0
\sum_{x}^{}f(x)=1

すなわち、連続確率変数の確率分布を規定する関数を確率密度関数、離散確率変数の確率分布を規定する関数を確率質量関数という。

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