歪度と尖度

代表値および分散に加えて、確率分布の形状をあらわす指標に歪度 (skewness) と尖度 (kurtosis) がある。歪度は分布の非対称性を示す指標であり、尖度は分布の尖り具合を示す指標である。

確率変数Xの期待値をμ、分散をσ2とし、さらに、Xの平均まわりのr次のモーメントをμr'とした場合、分布の歪度β1は以下の式で定義される。

\begin{eqnarray*}\beta_1^{\frac{1}{2}}=\frac{\mu_3'}{\sigma^3}\end{eqnarray*}

すなわち、歪度は以下で示される変数 'X-μ/σ' の原点まわりの3次のモーメントと等しい。

\beta_1^{\frac{1}{2}}=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^3\right]

また、以上の式 (の一部) は以下のように変形できるので、モーメント母関数を用いて求めた原点まわりのモーメントから簡単に求めることが可能である。

E[(X-\mu)^3]=E(X^3)-3\mu E(X^2)+2\mu^3

歪度β11/2が0のとき、その分布は左右対称である。一方で、'β11/2 > 0' の分布は右側に長く裾を引く分布であり、右に歪んだ分布、または正の歪みを持つ分布とよばれる。

上と同様に、確率変数Xの期待値をμ、分散をσ2とし、さらに、Xの平均まわりのr次のモーメントをμr'とした場合、分布の尖度β2は以下の式で定義される。3を引かない場合を尖度とする場合もある。正規分布の尖度が3であるので、正規分布との比較のために3が引かれている。

\beta_2=\frac{\mu_4'}{\sigma^4}-3

すなわち、尖度は以下で示される変数 'X-μ/σ' の原点まわりの4次のモーメント (から3を引いた値) と等しい。

\beta_2=E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right]-3

また、以上の式 (の一部) は以下のように変形できるので、モーメント母関数を用いて求めた原点まわりのモーメントから簡単に求めることが可能である。

E[(X-\mu)^4]=E(X^4)-4\mu E(X^3)+6\mu^2E(X^2)-3\mu^4-3

尖度β2が0より大きい場合、正規分布より尖っており、すなわち両裾が厚い分布であり、急尖的leptokurtic分布とよばれ、0より小さい場合は正規分布より鈍っており、両裾が薄い分布であり、緩尖的platykurtic分布とよばれる。

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