分散と期待値

あるデータXに関する期待値"E(X)"と分散"V(X)"には以下で示される関係性がある。

\begin{eqnarray*}V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\end{eqnarray*}

この関係性は、μをデータXの平均値、piを事象xiが起こる確率として以下のように証明することができる。まずは、V(X)の定義式を展開する。

\begin{eqnarray*}V(X)&=&\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2p_i\\&=&\sum_{i=1}^{n}({x_i}^2-2x_i\mu+{\mu}^2)p_i\\&=&\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i-2\mu\sum_{i=1}^{n}x_ip_i+\mu^2\sum_{i=1}^{n}p_i\end{eqnarray*}

ここで、以下の関係を用いる。

定義式

この関係を用いることでV(X)はさらに以下のように変形される。

\begin{eqnarray*}V(X)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i-\mu^2\end{eqnarray*}

ここで、以下の関係を用いる。

\begin{eqnarray*}E(X^2)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2p_i,\,E(X)=\mu\end{eqnarray*}

この関係を用いることで最初の式が導かれる。

\begin{eqnarray*}V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\end{eqnarray*}
このエントリーをはてなブックマークに追加

Site search

ページのトップへ戻る