期待値および分散の周辺公式

あるデータXに関する期待値"E(X)"および分散"V(X)"には以下で示される関係性がある。以下において、変数XおよびYに対して"c"は定数である。

期待値は離散型および連続型の変数Xに対し、"f(x)"を確率密度関数としてそれぞれ以下で与えられる値である。

E(X)=\sum_{x}xf(x)
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx

以上で与えられる期待値"E(X)"について、以下の変換公式が成り立つ。

E(c)=c
E(X+c)=E(X)+c
E(cX)=cE(X)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)

以上に加えて、変数XおよびYが互いに独立である場合のみ、以下の公式が成り立つ。ここで、"E(XY)-E(X)E(Y)"は変数XおよびYの共分散そのものであり、以下の式が成り立つということは変数XおよびYの共分散が"0"であることを意味する。

E(XY)=E(X)E(Y)

次に、分散は"V(X)"であらわされ、離散型および連続型の変数Xに対してそれぞれ以下で与えられる値である。"μ"は変数Xの平均 (期待値) である。

V(X)=\sum_{x}(x-\mu)^2f(x)
V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx

以上で与えられる期待値"V(X)"について、以下の変換公式が成り立つ。

V(c)=0
V(X+c)=V(X)
V(cX)=c^2V(X)

以上に加えて、変数XおよびYが互いに独立である場合のみ、以下の公式が成り立つ。ここで、"V(X±Y)"は本来は"Cov(X, Y)"を変数XおよびYの共分散として、"V(X±Y)=V(X)+V(Y)±2Cov(X, Y)"で与えられるが、上の"E(XY)=E(X)E(Y)"で示されるように変数XおよびYが独立である場合はそれらの共分散が"0"になるために以下の式が成り立つことになる。

V(X\pm Y)=V(X)+V(Y)
このエントリーをはてなブックマークに追加

Site search

ページのトップへ戻る