バートレット検定

バートレット検定 (Bartlett test) とは得られた複数のデータ間の母分散の均一性を検定する検定手法である。得られた2群のデータ間の等分散性を検定するF検定を一般化した検定といえる。本検定法は今から数十年前にイギリスの統計学者、Maurice Stevenson Bartlett によって考案された。得られたデータが以下のようなデータ1, データ2, ..., データk の k水準からなる場合のバートレット検定は以下のように行う。帰無仮説 (H0) はk群間の母分散は等しいことである。

データ1X11, X12, X13, ..., X1N1
データ2X21, X22, X23, ..., X2N2
・・・・・・
データkXk1, Xk2, Xk3, ..., XkNk

ハートレイ検定とは異なり、バートレット検定においては、それぞれの水準におけるサンプルサイズの N1、N2 および Nk は一致しなくても良い。ここで、各水準における標本数を Ni、不偏分散を U2i (i=1, 2, ..., k) とするとき、以下の統計量Tを求める。

\begin{eqnarray*}T=\left.\left[\sum_{i=1}^{k}(N_i-1)\ln\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}(N_i-1)U_i^2}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k}(N_i-1)}-\sum_{i=1}^{k}(N_i-1)\ln U_i^2\right]\right/C\end{eqnarray*}

ここで、C は以下で与えられる値である。

\begin{eqnarray*}C=1+\frac{1}{3(k-1)}\left[\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{N_i-1}-\frac{1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(N_i-1)} \right]\end{eqnarray*}

以上で求めた統計量Tは近似的に自由度 k-1 のカイ二乗分布 χ2(k-1) に従う。この統計量Tが自由度 k-1 のカイ二乗分布上において、あらかじめ設定した棄却域に入るか否かを考える。帰無仮説が棄却されたら対立仮説を採択し、k個のデータ間の母分散には差があると判断する。以上がバートレット検定であるが、実際の解析ではRを用いた計算が簡単である。

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