ルビーン検定

ルビーン検定 (Levene test) とは獲得した複数のデータ間の母分散の均一性を検定する検定手法である。バートレット検定およびハートレイ検定と同様、得られた2群のデータ間の等分散性を検定するF検定を一般化した検定法といえる。本検定法は1960年にアメリカの数理統計学者、Howard Levene によって提案された。得られたデータが以下のようなデータ1, データ2, ..., データk の k水準からなる場合、ルビーン検定は以下の手順によって行う。帰無仮説 (H0) はk群間の母分散は等しいことである。

データ1X11, X12, X13, ..., X1N1
データ2X21, X22, X23, ..., X2N2
・・・・・・
データkXk1, Xk2, Xk3, ..., XkNk

ハートレイ検定とは異なり、ルビーン検定においては、それぞれの水準におけるサンプルサイズの N1、N2 および Nk は一致する必要はない。ここで、各水準における標本数を Ni、全サンプルサイズを N とするとき、以下の統計量Wを求める。

\begin{eqnarray*}W=\frac{(N-k)}{(k-1)}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}N_i(Z_{i\cdot}-Z_{\cdot\cdot})^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{N_i}(Z_{ij}-Z_{i\cdot})^2} \end{eqnarray*}

ここで、Zij は以下で与えられる値である。

\begin{eqnarray*}Z_{ij}=|X_{ij}-\overline X_{i\cdot}|\end{eqnarray*}

ここで、Xi・ は水準 i の平均値であり、以下で与えられる。このとき、平均ではなく中央値を使用することもできるが、その場合はルビーン検定ではなく、ブラウン・フォーサイス検定 (Browne-Forsythe test) となる。

\begin{eqnarray*}X_{i\cdot}=\frac{1}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}X_{ij}\end{eqnarray*}

また、Z・・ は Zij の平均値であり、以下で与えられる。

\begin{eqnarray*}Z_{\cdot\cdot}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij}\end{eqnarray*}

Zi・ は以下で与えられる値である。

\begin{eqnarray*}Z_{i\cdot}=\frac{1}{N_i}\sum_{j=1}^{N_i}Z_{ij}\end{eqnarray*}

以上で求めた統計量Wは近似的に自由度 k-1 および N-k のF分布 F(k-1, N-k) に従う。この統計量Wが自由度 k-1 および N-k のF布上において、あらかじめ設定した棄却域に入るか否かを考える。帰無仮説が棄却されたら対立仮説を採択し、k個のデータ間の母分散には差があると判断する。以上がルビーン検定であるが、実際の解析ではRを用いた計算が簡単である。

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